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人第二次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又都说“不知道”。局外人第三次问：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”4个人又说“不知道”。局外人又问第四次：“你们知道你们头上的帽子的颜色吗？”这时4个人均说：“知道了！”

你能知道，他们中有几个人戴红色的帽子？几个人戴白色的帽子？

答案是，4个人都戴红色的帽子。你知道为什么吗？

当局外人未宣布“至少一个人戴的是红帽子”时，这个事实其实每个人都知道了，因为每个人看到其他3个人的帽子都是红色的。但这个事实在局外人未做宣布之前尽管是这4个人的知识，但不是他们的公共知识。而当这个局外人做了宣布了之后，“至少一个人帽子是红色的”便成了公共知识。此时不仅每个人知道“至少一个人的帽子是红色的”这个事实，每个人知道其他人知道这个事实……

如果只有1个人戴红色的帽子，那么，当局外人第一次问时，这个人因面对3个戴白色的帽子、必定知道自己的帽子颜色，他必定会回答“知道”。因此，当4个人第一次均回答“不知道”时意味着，4人中“至少有2人戴的是红色的帽子”，而且这也成了新的公共知识。

当局外人第二次问时，因为上述推理，如果只有2人戴的是红色的帽子，这2人就会回答说“知道”——因为他们各自面对的是1个戴红色帽子的人，这戴红色帽子的2个人马上知道自己戴的是红色的帽子。因此，局外人第二次问他们而他们回答“不知道”，此时，意味着，4人中“至少3个人戴红色的帽子”，并且它也成了该群体新的公共知识。

同样，当局外人第三次问时，他们回答的“不知道”，意味着4个人均戴的是红色的帽子。此时，他们每个人都知道他们头上都戴着红色的帽子，并且这也是公共知识。

因此，当局外人第四次问时，他们4个人马上说“知道”。

在这个过程中，当局外人首先宣布“其中至少一个人的帽子是红色的”，以及每次的回答（无论是回答“知道”还是“不知道”）构成该群体新的公共知识——构成所有人推理的前提。

这就是“帽子的颜色问题”。本人将这个问题简化了。原来的问题是这样的：有一个游戏，有一个主持人和戴着两种颜色帽子的一群人（假定有n人），每个人的帽子的颜色或者是红色或者是白色，但这n个人不能看到自己的帽子的颜色却看得到其他人的帽子的颜色。游戏的主持人说：“你们中至少一个人的帽子是红色的。”主持人开始一次次地问：“你们知道不知道自己的帽子的颜色？”现在的问题是：当主持人问到第几次时，才有人说“知道”？并且多少人说“知道”？

据说，这个问题在20世纪曾风靡欧美。

皇帝新装的新解读

我们都熟悉安徒生的童话《皇帝的新装》。

从前，一个皇帝爱穿漂亮的衣裳。有两个骗子对皇帝说，他们能做出世界上最漂亮的衣服，这衣服不仅华丽，而且穿上它后能知道谁是愚蠢的人，因为愚蠢的人是看不见这衣服的。皇帝相信骗子的话，给了骗子许多金子，让骗子开始织布。两个骗子在织机旁煞有其事地忙碌着。皇帝派他的宠臣去看看工作的进度，然而他们惊呆了：天啊，我什么也看不见！他们想，难道我是愚蠢的人？我不胜任自己现有的权位？这是多么可怕的事啊！但好在其他人不知道。于是他们装着看见的样子，称赞布料是多么多么的漂亮，骗子向他们描述布料的色彩和图样，他们点头称是。回去后，他们将骗子的话汇报给皇帝。皇帝亲自来看衣服制作的进度，他也同样被眼前的情景惊呆了，因为他什么也没看见！他当然看不见，因为确实什么也没有。皇帝也怀疑自己是愚蠢的人，但他想，千万不能让别人知道我看不见布，千万不能让我的臣民知道我是愚蠢的人，于是他也同样夸赞起布来。

全城庆典的那天，骗子装模作样地赶制好了衣服，皇帝脱掉了他原来的衣服，骗子做出给皇帝穿衣服的样子。当骗子给皇帝穿好所谓的“新衣服”后，皇帝步出宫殿，向他的臣民致意。皇帝在大街上被他的臣子们簇拥着行走，什么也没穿。他的臣民们都看着没穿衣服的皇帝，然而他们怕别人知道自己是愚蠢的人，不敢承认自己没有看到皇帝没有穿衣服。

这时，一个小孩突然说：“其实皇帝什么也没穿啊！”这一声无疑是晴天霹雳。老百姓开始议论纷纷，私下传着这个天真无邪的小孩的话，人们开始相信小孩说的话是对的。皇帝也知道了老百姓