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和群体2认为“B优于C”，群体3认为“C优于B”，投票结果是：B以2比1战胜C。

既然A战胜了B，B又战胜了C，似乎是，如果对A与C进行投票，A应当战胜C。对于任何一个理性的投票人，这是自然的。但是，当群体对A和C进行投票时，C以2比1战胜了A！

这就是阿罗悖论，又称为孔多塞投票悖论、循环投票悖论。当然，投票中不是任何时候都会产生投票悖论。三个群体对3个方案的可能偏好状态为216个，出现悖论的状态是6个，即悖论的可能性是1/36即。

投票悖论这个现象所反映的问题具有重大的理论意义，它反映了在社会加总成员偏好过程中，存在致命的缺陷，这正是著名的“阿罗不可能性定理”所揭示的。

这个例子反映的道理是深刻的。如果社会对几个方案进行表决，如国家选举总统、某个城市让市民决定先修建哪个公共事业工程，等等，这个例子说明，社会投票很可能得出矛盾的结果。

对于社会的选择问题，阿罗认为，在非*的情况下，不存在任何加总社会个体成员偏好的方法。

所谓加总社会偏好即找到一个社会偏好函数，阿罗提出了这样的函数要满足4条公设：第一，定义域不受限制，即适合所有的个人的偏好类型；第二，非*，即社会偏好不以一个人或少数人的偏好来决定；第三，帕累托原则，即所有人的偏好都认为a优于b，那么社会偏好也是a优于b；第四，独立性，即不管个人对除了a与b的其他的偏好顺序发生什么变化，只要所有个人对a与b的偏好不变，那么社会对a与b的偏好不变。

这4条公设是基本的，或者自明的。但是，阿罗论证了不存在这样的社会福利函数。我们设计出来的揭示偏好的选举方法，其结果不具有传递性，从而会产生矛盾。我们在数学中的“大于（》）”的关系是具有传递性的：如果a》b，并且b》c，那么a》c。如果社会选举的结果是“a优于b”，“b优于c”并且“a优于c”，那么社会偏好就是满足传递性的，但事实上，在非*的情况下我们往往做不到。这就是阿罗不可能性定理的意思。

阿罗定理指的是，社会没有一种客观地反映群体的社会偏好的方法。如果某种偏好得以反映出来，如台湾*当选“总统”，或者小布什而不是戈尔当选美国第53任总统，那完全取决于所确定的“*”的选举规则。另外一套规则得出的完全可能是另外一种结果。

戈尔比小布什多几十万张选票，然而美国实行的投票人制度是，谁获得了某一州的多数票，那么他就获得该州所分配的选举人的选票，小布什与戈尔之争的关键是佛罗里达州的选举结果，小布什获胜就在于他以微弱优势获得了佛罗里达州的25张选举人票。最后，小布什与戈尔的选票之比为277∶266。小布什获胜。

你会说，通过一次性投票来决定谁当选，即对候选人或候选方案进行一次性表决，这应该是合理的。但是，这很有可能让选民最不喜欢的人或方案当选。

举一个例子。假定有4个候选人，他们是A、B、C、D，假定有26％的人“最喜欢”A，各有25％的人“最喜欢”B和C，有24％的人“最喜欢”D。现在进行一次性投票，A当选。而很有可能的是“最喜欢”B、C、D的那些人“最不喜欢”A，即：“最不喜欢”A的人有74％！在这种规则下，最多人“最不喜欢”的候选人当选了！这样的规则合理吗？很有可能的是，台湾的*就是这里的A。

如果有一种确定了的规则，并且候选人的竞选纲领在选民心里得到确切的定位，即每个选民对不同的候选人确定了其偏好程度，那么结果是确定的。而为什么不同的候选人同意同样的规则呢？因为，每个候选人总会尽量以其竞选纲领及个人魅力赢得选民的偏好。这里有一个真理：假如你的竞选纲领及个人魅力赢得了所有的选民，即对所有选民进行偏好排序，你都是在最前面的，那么在任何选举规则下你都会被选中。同样，如果你永远排在最后面，那么无论什么规则，你都不会选中。这一点可以用数学证明。

同时，候选人接纳某种*的选举规则而参与竞选，是因为他无法预先知道每个选民的偏好。*的选举是人们以此来揭示选民的心理排序情形的方法。阿罗不可能性定理正说明了人的有限理性的悖论。

此外，阿罗定理说的是，社会的选择方法不可能既是有效率的，又是*的。因为循环投票本身就是无效率的，而有效率的方式必须是*的。这就再次揭示了*和效率的矛盾