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�阌谡庵纸夥ǎ�突嵯萑胍恢痔茁肥健⒔烫跏降哪Ｊ剑�苣蚜私獾绞�У牟ɡ阶忱�Ｎ蚁衷诠乖炝礁龊���桓鍪莥=8－2x2，再一个是y=x－1，那么大家看，刚才这个问题就变了，变成这两个函数，谁比谁大的问题。大家注意，第一个函数，它是椭圆的上半部分，第二个的图形呢，它是一条直线，那么这个问题就变成了这条直线和椭圆相交，然后只要看看那两个图像的交点，就把这个题很简单地解出来了。本来是一个解不等式的问题，但是构造两个函数之后，通过求解交点，就转化成一个等式的解法，这是数学中的一个巨大的变化。大千世界相等是短暂的，不等是永恒的，但是利用了这种函数思想，就能够抓住相等的那一刹那，解决永恒的不等的问题，它的智慧就在这儿。第二种方法简洁，解法正确率高，更重要的是，这第二种解法体现出数学的一个非常重要的思想，就是数形结合。

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第29节：数学有一种惊人之美（3）

如果这个题再做变化，比如说我要是把那个…1，偷偷地换成一个a，那么你会发现，刚才提供的第一种解法，就无能为力了。因为那个a是啥呢？这个讨厌的a，它变化多端，每一次变化都给这个不等式的解法带来灭顶之灾，但是你要利用第二种解法，那么这个问题就好解决了。构造两个函数，一个是y=8－2x2，再一个是y=x＋a，刚才讲过，y=8－2x2，它其实就是椭圆的上半部分，y=x＋a是一组平行直线，它的斜率是1，随着a的变化，那条直线在不断地变化。

这个题在高考中，应该是一种比较有难度，而且也非常常见的题目，就是分类讨论。我们通过这个图形一看，就可以分成四段来讨论，一目了然。通过这个题，我们可以看到，方程是数学上非常核心的概念，可以在函数的观点下，和不等式统一起来，这就是函数在数学中的重要性。一方面，要解决的具体问题一旦归结为函数，就可以把一些局部的问题，拿到高瞻远瞩的全局上去解决，所以局部的问题就变得很简单；另外，能够把静态的问题，放到波澜壮阔的动态的过程中去研究，使问题变得简单，比如说那个解不等式的问题。

有了这样的一个背景，这个题可以随意变。通过观察图像，得出了a&lt；…2时，它的解是什么；…2≤a＜2时，它的解是什么；2≤a＜2　3时，它的解是什么；最后a≥2　3时，它的解集是空集。顺着这个题，我现在逆向思维，不让你解这个等式，而是已知这个不等式的解集为＇…2，2＇，求a的范围。那么大家再看刚才那个图，这个不等式的解集是＇…2，2＇，就是说在＇…2，2＇这个区间，这条抛物线始终应该在这条直线的上方。从图上一看，答案不用动手就出来了，是a＜…2。如果这个题不是通过这样的一种方法来做的话，那就难上加难了。我再进行第二变，刚才不是解这个不等式吗，现在不解不等式了，换一个什么呢？已知这个方程8－2x2…x=a，说这个方程恒有解，求a的范围。这个题目和原来那个题相比，其实就是一个符号之差，原先是个大于号，我现在变成个等号，这两个题目的背景和解题的氛围，就发生了很大的变化。但当你考虑函数的背景时就会发现，这两个题目完全是同一种题目。还是看刚才那个图，这个方程恒有解，不就意味着那条直线和那个椭圆恒有交点吗？我们观察图像可知，当…2≤a＜2　3这个范围内时，直线和椭圆恒有交点，根本不用计算。但我可以告诉你，这个题是有一年高考的一个很难的题目。还有更精彩的，现在我不是说这个方程有解了，而是说这个方程有两个不同的解，求a的范围。这不同的解就意味着这条直线和这上半个椭圆，得有两个不同的交点，看看图就一目了然了。于是这个题目的答案又得到解决。我们还可以继续变，若是在＇…1；1＇内有解呢，求a的范围，这个答案也很好找出来。

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第30节：数学有一种惊人之美（4）

再看一个题，还是各种复习材料上都会有的一个题目：

y=mx2＋43x＋nx2＋1

这个函数的最大值是7，最小值是…1，求m，n。我经常给学生讲的一句话，叫〃上帝让谁死亡，必先让谁疯狂〃，这个现实生活中的道理，在数学上也有恰到好处的应用。大家看这个题，这个函数中有四个字母，一个x一个y，一个m一个n，那么我们现在要求m，n。我要做的就是怎么能把x和y消掉而后快。大家看，我先把x2干